Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente

Este interesante problema fue propuesto en la reciente Olimpiada Online de Física (OOF 2013) organizada por la Sociedad Peruana de Docente de Física (SPDF).

Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente
Un sistema formado por dos esferillas idénticas A y B, conectados por medio de una cuerda inextensible de longitud L, se deja en libertad de movimiento de la posición que se indica en la figura, encontrándose B a una altura 2L/3 respecto del piso. Si el sistema comienza a moverse libre de toda clase de rozamiento, y en el instante que B llega al piso esta adhiere a él, mientras que A se despega de la mesa, ¿a qué altura h respecto del piso se encontrará A en el instante que la cuerda que los une se tensa nuevamente?

Resolución

Como el sistema mostrado se encuentra libre de toda clase de rozamiento, se conservará su energía mecánica hasta antes que B choque con el piso.

Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema en el proceso en donde este pasa del ESTADO 1 al ESTADO 2.

Cuando se produce el choque de la partícula B con el piso una parte de la energía mecánica del sistema (la energía cinética de B) se transforma en otras formas de energías no-mecánica (térmica, interna, acústica, etc), pero como a partir de ese momento la partícula A se mueve parabólicamente afectado solo por la fuerza de gravedad, su energía mecánica se conservará hasta el instante que la cuerda vuelve a tensarse.

Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica a la partícula A en el proceso en donde esta pasa del ESTADO 3 al ESTADO 4.

A continuación analicemos cinemáticamente el movimiento parabólico que describe la partícula A al pasar del ESTADO 3 al ESTADO 4, asumiendo que t es el tiempo transcurrido en este proceso.

Como la componente horizontal del movimiento parabólico que describe esta partícula es un movimiento rectilíneo uniforme, su velocidad horizontal permanecerá constante y ademas su desplazamiento horizontal será proporcional al tiempo transcurrido:

Por otro lado, como la componente vertical del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, su velocidad vertical variará linealmente con el tiempo:

Usando la identidad pitagórica fundamental, eliminemos el ángulo θ, de las ecuaciones (3) y (5):

Reemplazando en esta ecuación las ecuaciones (2) y (4)tenemos que:

Finalmente, reemplazando la ecuación (1) en esta ecuación tenemos que: