domingo, 29 de diciembre de 2013

Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente

Este interesante problema fue propuesto en la reciente Olimpiada Online de Física (OOF 2013) organizada por la Sociedad Peruana de Docente de Física (SPDF).
Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente
Un sistema formado por dos esferillas idénticas A y B, conectados por medio de una cuerda inextensible de longitud L, se deja en libertad de movimiento de la posición que se indica en la figura, encontrándose B a una altura 2L/3 respecto del piso. Si el sistema comienza a moverse libre de toda clase de rozamiento, y en el instante que B llega al piso esta adhiere a él, mientras que A se despega de la mesa, ¿a qué altura h respecto del piso se encontrará A en el instante que la cuerda que los une se tensa nuevamente?
Resolución
Como el sistema mostrado se encuentra libre de toda clase de rozamiento, se conservará su energía mecánica hasta antes que B choque con el piso.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema en el proceso en donde este pasa del ESTADO 1 al ESTADO 2.
Cuando se produce el choque de la partícula B con el piso una parte de la energía mecánica del sistema (la energía cinética de B) se transforma en otras formas de energías no-mecánica (térmica, interna, acústica, etc), pero como a partir de ese momento la partícula A se mueve parabólicamente afectado solo por la fuerza de gravedad, su energía mecánica se conservará hasta el instante que la cuerda vuelve a tensarse.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica a la partícula A en el proceso en donde esta pasa del ESTADO 3 al ESTADO 4.
A continuación analicemos cinemáticamente el movimiento parabólico que describe la partícula A al pasar del ESTADO 3 al ESTADO 4, asumiendo que t es el tiempo transcurrido en este proceso.
Como la componente horizontal del movimiento parabólico que describe esta partícula es un movimiento rectilíneo uniforme, su velocidad horizontal permanecerá constante y ademas su desplazamiento horizontal será proporcional al tiempo transcurrido:
Por otro lado, como la componente vertical del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, su velocidad vertical variará linealmente con el tiempo:
Usando la identidad pitagórica fundamental, eliminemos el ángulo θ, de las ecuaciones (3) y (5):
Reemplazando en esta ecuación las ecuaciones (2) y (4)tenemos que:
Finalmente, reemplazando la ecuación (1) en esta ecuación tenemos que:

viernes, 27 de diciembre de 2013

Máxima deformación de un sistema esferillas resorte

Este interesante problema fue planteado en nuestro medio por nuestro amigo Hugo Alberto Luyo Sánchez en el circulo de estudios del colegio PROLOG. Yo lo he modificado para que en su resolución no transcienda la parte de cálculo (resolver una ecuación completa de cuarto grado) sino la parte fenomenológica del problema (versión original del problema).
La máxima deformación del resorte
La figura muestra un sistema formado por dos esferillas idénticas, que se encuentran conectadas por un resorte ideal cuya longitud natural es L, que se encuentra en reposo apoyado sobre una superficie horizontal donde el rozamiento es despreciable. En cierto instante cada una de ellas es impulsada con velocidades en la forma que se indica, siendo E la energía cinética de cada una. Si la máxima deformación que experimenta el resorte es x, determine la constante de rigidez del resorte.
Resolución
Lo primero que debemos señalar es que como el sistema mecánico en cuestión es aislado, se conservará su momentum lineal.
Por otro lado, como sobre cada esferilla actúa en todo momento una fuerza central, que en todo momento apunta hacia el centro de masas del sistema, se conservará el momentum angular de cada esferilla respecto de dicho punto.
Y, finalmente, como el sistema se encuentra libre de toda clase de rozamiento, y las fuerzas internas son conservativas, se conservará su energía mecánica.
Pues bien, manos a la obra.
Analizaremos el movimiento del sistema respecto de su centro de masas (CM), debido a que respecto de este sistema de referencia el CM (que en este caso es el punto medio del resorte) se encontrará en todo momento en reposo.
Para esto determinemos primeramente la velocidad del centro de masas del sistema (el centro de masas lo hemos representado con la letra C).
A partir de esto es fácil determinar las velocidades de cada una de las partículas respecto del punto C.
Observe que, a partir de esto concluimos que el momentum lineal del sistema, respecto del punto C, es nulo en todo momento (esto es debido a que el momentum lineal de cada partícula es en cada instante de la misma magnitud y dirección opuesta que la de la otra).
Por otro lado, con el objetivo de analizar un subsistema del sistema original, hemos desdoblado el resorte original, de constante de rigidez k, en dos resortes idénticos de constante de rigidez 2k (acoplamiento de resortes en serie), como se muestra en la figura. De esta manera podremos analizar el movimiento del subsistema formado por una de las partículas (A en este caso) acoplada a un resorte de constante 2k cuyo extremo opuesto se encuentra fijo.
A continuación, apliquemos el principio de conservación del momentum angular (respecto del punto C) a la esferilla A, teniendo en cuenta que la longitud final del resorte es igual a su longitud inicial menos la deformación del resorte (LF = L - x) y que la máxima deformación x del resorte, en este caso, se da cuando su velocidad u es perpendicular a la recta definida por el eje del resorte.

Finalmente, apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema formado por la esferilla A y el resorte de constante de rigidez 2k (que sería equivalente a aplicar este principio al sistema físico original).
De donde reemplazando la expresión de la velocidad final u de la esferilla obtenida anteriormente, y teniendo en cuenta la condición inicial del problema (que E es la energía cinética inicial de cada esferilla), se concluye que: