jueves, 1 de noviembre de 2012

Partícula que rota en el interior de un campo de fuerzas no uniforme

Nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, autor del blog (Mathematicorum y Yo), ha colocado en su muro del facebook un problema interesante de un examen de admisión de un prestigioso Instituto Tecnologico brasileño (ITA).
El problema es el siguiente:
PROBLEMA
Un disco con su eje de rotación inclinado un ángulo α respecto de la vertical, gira con velocidad angular constante ω. El disco se encuentra inmerso en una región del espacio donde existe un campo magnético B uniforme y homogeneo, orientado paralelamente al eje de rotación del disco. Un pequeño disco de masa m y carga q > 0 se encuentra sobre el disco, en reposo respecto a este, y situado a una distancia R desde el centro, como se muestra en la figura. Si μ es el coeficiente de fricción de la partícula con el disco y g la aceleración de la gravedad, determinar qué valor debe tener ω para que el pequeño disco permanezca en reposo respecto de ella.
Resolución
Antes que nada diremos que todo cuerpo que se encuentra apoyado en un plano inclinado, independiente si se mueve o no respecto de él, se puede considerar que se encuentra sometido a dos campos de fuerzas uniforme: uno que tiene la dirección de la recta de máxima pendiente de dicho plano, cuya intensidad es g', y otro que tiene una dirección perpendicular a dicho plano, cuya intensidad es g'', siendo ambos componentes de la aceleración de la gravedad.


Por otro lado, cuando una partícula electrizada se mueve en el interior de un campo magnético esta experimenta una fuerza magnética Fm (parte de la Fuerza de Lorentz) que tiene ua dirección perpendicular a la velocidad v y al campo magnético B. y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Como el pequeño disco gira en un campo magnético homogéneo describiendo un movimiento circular uniforme se deduce que las magnitudes de la fuerza centrípeta Fcp y de la fuerza magnética Fm permanecerán constantes.
Teniendo en cuenta que en todo momento la fuerza centripeta Fcp es la resultante de la fuerza de gravedad equivalente Fg, la fuerza megnética Fm y la fuerza de rozamiento Fr, se deduce que cuando el pequeño disco pasa por la posición mas baja de su trayectoria la fuerza de rozamiento Fr tomará su máximo valor.
En esta posición, la fuerza centripeta Fcp que apunta hacia arriba es la resultante de la fuerza de rozamiento Fr, que es paralelo a Fcp, de la fuerza de gravedad equivalente Fg y de la fuerza megnética Fm, que son antiparalelos a Fcp.
Aplicando la fórmula de la fuerza centrípeta al pequeño disco cuando pasa por la posición mas baja tenemos:
Resolviendo esta ecuación de 2do grado respecto de la variable ω (usando la fórmula general), se deduce que esta velocidad angular ω es:

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