domingo, 20 de mayo de 2012

Problema cañón de artillería

Nuestro amigo Oswaldo Farro ha publicado en su muro del face un problema interesante de Física.
PROBLEMA
En el preciso momento en que un artillero dispara un proyectil, este empieza a deslizarse sobre un plano inclinado áspero cuyo coeficiente de rozamiento es μ. Despreciando la resistencia del aire, calcule el ángulo de inclinación ε, que forma la velocidad de lanzamiento con el plano inclinado, para que la bala impacte en el artillero.

RESOLUCIÓN
A partir de la 2da ley de Newton se obtiene la aceleración de un cuerpo que resbala por un plano inclinado áspero. Se demuestra que esta aceleración es:
Por otro lado, teniendo en cuenta que todo movimiento parábólico puede considerarse como la ejecución simultánea de un MRU (d = vot),  con la velocidad de lanzamiento vo, y de un MVCL de trayectoria vertical (h = 1/2 gt2), y que el artillero se mueve con MRUV (d = 1/2 at2), determinemos una relación geométrica (otra) entre la aceleración a del artillero y la aceleración de la gravedad g.
Aplicando ley de senos al triángulo vectorial mostrado en la figura, tenemos:
Reemplazando la relación de la aceleración obtenida anteriormente obtenemos la siguiente relación:
Usando aqui la fórmula del coseno de una diferencia:
De donde se deduce que:
Lo que causa extrañesa de esta respuesta es que el ángulo ε no depende del ángulo θ. Solo depende del coeficiente de rozamiento cinético μ.

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