sábado, 26 de marzo de 2016

PROBLEMA RETO DE CINEMÁTICA

Dos móviles A y B parten simultáneamente de las posiciones indicadas y se mueven con rapideces constantes de 10 m/s. El móvil A se mueve sobre la circunferencia de 5 m de radio mientras que B se mueve en línea recta. Determine la distancia mínima que los separa por primera vez.
PD: Para resolverlo se puede usar cualquier tipo de calculadora pero no se puede hacer uso de las herramientas del cálculo.

sábado, 22 de marzo de 2014

Alcance máximo de un chorro de agua en un tubería

Otro problema interesante propuesto por uno de los miembros de nuestra Sociedad Peruana de Docentes de Física.

Alcance máximo de un un chorro de agua en un tubería
Una boquilla, ubicada en el extremo inferior A de una tubería cilíndrica de diámetro d = 1 m y pendiente 1%, descarga sobre el interior de esta tubería un chorro de agua con una velocidad vo = 10 m/s. Determine el máxima distancia R que puede alcanzar este chorro de agua, a lo largo de la tubería. Considere g = 10 m/s2.
Resolución
Es un hecho conocido cuando el ángulo φ con que se lanza un proyectil desde la superficie de la tierra va aumentando, comenzando desde un valor pequeño, el alcance horizontal R también aumenta hasta alcanzar un valor máximo que se da cuando φ = 45o.
En este proceso, cuando el ángulo de lanzamiento φ aumenta de 0 a 45o, la altura máxima alcanzada por el proyectil también aumenta.
Pero en el problema propuesto nos piden el alcance máximo R con la limitante que existe una altura máxima que puede alcanzar el chorro de agua (no debe chocar con las paredes de la tubería).
De este razonamiento deducimos que el alcance R será máximo cuando el chorro de agua roce la pared interna superior de la tubería.
En este problema la pendiente de la tubería es del 1% (tanθ = 0,01) lo que indica que el eje de la tubería se encuentra ligeramente inclinada. 
Para resolver este problema, por criterios académicos, asumiremos gráficamente que la tubería se encuentra notoriamente inclinada y lo primero que haremos es tomar un sistema de coordenadas xy ubicado en un plano vertical, donde el eje x sea paralelo al eje de la tubería.
Descompongamos la velocidad inicial de lanzamiento v y la gravedad g en componentes rectangulares a lo largo de dichos ejes coordenados y analizaremos cada uno de los movimientos componentes (ambos son MRUA).
Vamos a plantear las ecuaciones, considerando que como el ángulo θ es pequeño las funciones seno y coseno de dicho ángulo son aproximadamente 0 y 1 respectivamente.
Primero, determinemos el tiempo que una partícula de agua tarda en recorrer el tramo BC (que es igual al que tarda en recorrer el tramo AB), teniendo en cuenta que la velocidad inicial del movimiento componente a lo largo del eje y, en este tramo, es nula. 
A continuación, determinemos el ángulo ε que forma la velocidad de lanzamiento con el eje x teniendo en cuenta que la velocidad final del movimiento componente a lo largo del eje y, en el tramo AB, es nula.
Reemplazando en esta ecuación el tiempo t calculado en el paso anterior, y aproximando cosθ a uno, concluimos que:
Finalmente, determinaremos el alcance horizontal R (máximo) teniendo en cuenta que el movimiento componente a lo largo del eje x, en el tramo AC, se da en un tiempo 2t y que senθ es aproximadamente igual a cero.

miércoles, 19 de marzo de 2014

Curvatura de la luz en un medio heterogéneo

Este interesante problema se propuso en la Sociedad Peruana de Docentes de Física.

Curvatura de la luz en un medio heterogéneo
Un bloque de forma de paralelepipedo está hecho de un material cuyo índice de refracción varía con la distancia x al eje vertical según la ley:
donde x está en cm y r = 13 cm.
Un rayo de luz que proviene del aire incide en el bloque de espesor L mostrado en la figura en el punto O con un ángulo de incidencia que tiende a 0. Si este rayo a atravesar el bloque se curva de modo que cuando emerge por el punto A hacia el aire su ángulo de refracción es α = 30o, determine el índice de refracción del bloque en el punto A y la abscisa de este punto.
Resolución
Como el ángulo de incidencia en el punto O tiende a cero, el ángulo de refracción cuando el rayo penetra el bloque también tenderá a cero.
El rayo se curva de la manera que se muestra en la figura debido a que conforme el rayo se va alejando del eje y este va penetrando capaz de mayor índice de refracción.
De las ecuaciones que resultan de aplicar sucesivamente la ley de Snell en la refracción que resulta cuando el rayo de luz pasa de una capa a otra, se demuestra que el producto del índice de refracción inicial (no) multiplicado por el seno de 90o es igual producto del índice de refracción final (n) por el seno del angulo φ

A continuación apliquemos la ley de Snell a la refracción que se produce cuando el rayo de luz emerge del bloque:

Teniendo en cuenta que no = 1,2 (que es valor de n cuando x = 0), resolviendo las ecuaciones (1) y (2) tenemos se deduce que n = 1,3 (y la abscisa x del punto donde el rayo emerge es x = 1 cm).
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viernes, 28 de febrero de 2014

Máxima altura alcanzado por una de las partes de un sistema

Un interesante problema que se propuso en la Sociedad Peruana de Docentes de Física (conocida coloquialmente como la "sopa de fideos" por sus siglas en español SPDF) es el siguiente.
Máxima altura alcanzado por una de las parte de un sistema
La figura muestra el instante en que una canica de masa m hace su ingreso en una canaleta semicircular practicado en un coche de masa M que se encuentra inicialmente en reposo. Si despreciamos toda clase de rozamiento ¿cuál es el valor de la rapidez v para que la canica alcance una altura h = R/2 respecto de OA?
Resolución
Primeramente debemos señalar que cuando la canica se encuentra dentro de la canaleta, el coche experimentará una aceleración horizontal variable hasta el instante que la canica sale de ella. Después de esto la canica experimentará un movimiento parabólico de caída libre, y el coche un movimiento rectilíneo uniforme, ambos con una misma velocidad horizontal u, ya que a partir del instante en que la canica se libera del coche sobre ellos no actúa ninguna fuerza externa horizontal.
Como sobre el sistema no actúa ninguna fuerza externa horizontal, la cantidad de movimiento horizontal del sistema se conservará en el tiempo.
Por otro lado, como sobre el sistema se encuentra libre de toda fuerza de rozamiento (interna y externa), se conservará su energía mecánica. Tomando como estado inicial el instante en que la canica ingresa a la canaleta y estado final el instante en que la canica alcanza su máxima altura tenemos:
Reemplazando (1) en (2) y despejando tenemos:

sábado, 11 de enero de 2014

Dos esferas que caen libremente y luego chocan con el piso

Otro interesante problema adaptado de la OAF 2009, planteado en nuestro medio por nuestro amigo el profesor Douglas Ameida de São Paulo-Brasil y resuelto magistralmente por su compatriota Lucas Lugão Guimarães de Belo Horizonte.
Dos esferas que caen libremente y luego chocan con el piso
Una esfera A, de masa mucho menor que otra B, se encuentra apoyada sobre esta, formando un ángulo α, respecto a la vertical. Ambas se encuentran inicialmente a una altura h = 2 m, en un lugar donde la resistencia del aire es despreciable, como se muestra en la figura.
Luego que estas son liberadas, caen verticalmente hasta que B choca elásticamente con el piso, e inmediatamente después choca elásticamente con A que es lanzada oblicuamente llegando al suelo a la distancia horizontal L. Asumiendo que en el momento que B choca con el piso, A se encuentra alejado una distancia infinitesimal de A, que durante la colisión el rozamiento entre las esferas es despreciable y que los radios de las esferas son mucho más pequeños que h y L, determine el valor máximo valor de L.
Resolución
Como la esfera B efectúa un choque elástico con el piso, después del choque, que dura una fracción de segundo, este se moverá verticalmente con la misma rapidez que tenía antes del choque, la cual hemos denominado v. El valor de v se determina muy fácilmente por las ecuaciones del movimiento de caída libre, o aplicando el principio de conservación de la energía mecánica (v2gh).
De la condición del problema se deduce que en el instante que B se despega del piso, este efectúa un segundo choque (también elástico) con A que tenía prácticamente la misma rapidez v.
Analicemos detenidamente este segundo choque, suponiendo que las velocidades de A y B, después de este segundo choque son u y w respectivamente.
Como el choque es elástico (e = 1), la rapidez relativa entre A y B en la dirección normal a la superficie de choque (eje x) será la misma antes y después del choque.
Por otro lado, si bien el sistema formado por las dos esferas después del primer choque NO ES UN SISTEMA AISLADO, debido a la acción de la fuerza de gravedad, se puede considerar que se conserva su cantidad de movimiento, en el breve intervalo de tiempo que dura el choque, ya que el impulso generado por esta fuerza, en este intervalo de tiempo, es despreciable.
Apliquemos el principio de conservación de la cantidad de movimiento, del sistema formado por las dos esferas, en la dirección x, considerando que las masas de las esferas A y B son m y M respectivamente.
Reemplazando (1) en (2) y despejando se tiene que:
De esta expresión se deduce que, si la masa m es mucho menor que M, el término m/M puede despreciarse. De aquí se concluye que:
Por otro lado, como entre las esferas no existe rozamiento, la componente de la velocidad de A en el eje y, antes y después del choque, no cambiará. Según esto.
De estas ecuaciones se deduce, elevando al cuadrado ambos miembros y sumándolos miembro a miembro para eliminar el arco compuesto θ + ε, que:
De estas mismas ecuaciones (I) y (II) se deduce, dividiéndolas miembro a miembro, una relación entre los ángulos θ y α (tan(θ + α) = 3.cotα). A partir de esto obtengamos θ en función de α:
Finalmente, como una de las condiciones del problema es que las dimensiones de las esferas son despreciables respecto de las distancias h y L, se concluye que lo que nos piden determinar es el máximo alcance horizontal que puede alcanzar la esfera A durante su movimiento parabólico después de producido el segundo choque.
Recordemos que de las ecuaciones del movimiento parabólico se deduce que:
Por otro lado, recordando por trigonometría que:
reemplazando en esta ecuación el valor de la tangente (tanθ) obtenido anteriormente, se deduce que:
Reemplazando esta última expresión y la ecuación Σ en la ecuación del alcance horizontal, se deduce que:
Ahora el problema consiste en maximizar el valor del alcance horizontal L. Para maximizar el valor de L, que equivale a maximizar el valor de la expresión E = sen2α + sen4α, utilizaremos el criterio de la derivada.
De donde, resolviendo por la fórmula general para ecuaciones de segundo grado.
Y esto implica que α = 26,8o.
Reemplazando este valor en la ecuación del alcance horizontal L, teniendo en cuenta que v2 = 2gh = 40 m2/s2, se concluye que Lmax = 28,16 m aproximadamente.
Para acabar, quiero expresar un agradecimiento especial (una vez más) al maestro de maestros, Enrique Romero Osorio, que me ayudo a salir del intringulis matemático que me encontraba al resolver este problema.

Descargue la versión de Lucas Lugão (en portugués) desde aqui.

viernes, 3 de enero de 2014

Relación de amplitudes de oscilación

Este interesante problema, adaptado de la OAF 2008, fue planteado en nuestro medio por nuestro amigo el profesor Douglas Ameida de São Paulo-Brasil.
Relación de amplitudes de oscilación
Un pequeño bloque de masa m se encuentra en equilibrio apoyado sobre una plataforma, que a su vez se encuentra apoyada sobre un resorte ideal. Tanto la plataforma como el resorte son de masa despreciable.
Una persona de masa M sube a la plataforma y coge el bloque, muy lentamente y con mucho cuidado, lo que origina que el sistema adopte una nueva posición de equilibrio.
Luego la persona suelta el bloque y la plataforma comienza a oscilar con amplitud Ao, y, después de una oscilación completa, este choca con la plataforma de manera inelástica. Considere que en este momento el sistema puede considerarse aislado. Al final, el sistema oscila con amplitud A. Considerando que en un momento la plataforma ha permanecido horizontal y despreciando la resistencia del aire, determine A/Ao.
Resolución
La resolución (en portugués) planteada por nuestro amigo en este enlace.

domingo, 29 de diciembre de 2013

Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente

Este interesante problema fue propuesto en la reciente Olimpiada Online de Física (OOF 2013) organizada por la Sociedad Peruana de Docente de Física (SPDF).
Cuerda tensa que se relaja y tensa nuevamente
Un sistema formado por dos esferillas idénticas A y B, conectados por medio de una cuerda inextensible de longitud L, se deja en libertad de movimiento de la posición que se indica en la figura, encontrándose B a una altura 2L/3 respecto del piso. Si el sistema comienza a moverse libre de toda clase de rozamiento, y en el instante que B llega al piso esta adhiere a él, mientras que A se despega de la mesa, ¿a qué altura h respecto del piso se encontrará A en el instante que la cuerda que los une se tensa nuevamente?
Resolución
Como el sistema mostrado se encuentra libre de toda clase de rozamiento, se conservará su energía mecánica hasta antes que B choque con el piso.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema en el proceso en donde este pasa del ESTADO 1 al ESTADO 2.
Cuando se produce el choque de la partícula B con el piso una parte de la energía mecánica del sistema (la energía cinética de B) se transforma en otras formas de energías no-mecánica (térmica, interna, acústica, etc), pero como a partir de ese momento la partícula A se mueve parabólicamente afectado solo por la fuerza de gravedad, su energía mecánica se conservará hasta el instante que la cuerda vuelve a tensarse.
Apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica a la partícula A en el proceso en donde esta pasa del ESTADO 3 al ESTADO 4.
A continuación analicemos cinemáticamente el movimiento parabólico que describe la partícula A al pasar del ESTADO 3 al ESTADO 4, asumiendo que t es el tiempo transcurrido en este proceso.
Como la componente horizontal del movimiento parabólico que describe esta partícula es un movimiento rectilíneo uniforme, su velocidad horizontal permanecerá constante y ademas su desplazamiento horizontal será proporcional al tiempo transcurrido:
Por otro lado, como la componente vertical del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, su velocidad vertical variará linealmente con el tiempo:
Usando la identidad pitagórica fundamental, eliminemos el ángulo θ, de las ecuaciones (3) y (5):
Reemplazando en esta ecuación las ecuaciones (2) y (4)tenemos que:
Finalmente, reemplazando la ecuación (1) en esta ecuación tenemos que: